角平分线的画法的依据-做一个角的角平分线的依据

配套视频：待补充

要证明三角形的全等，必须遵循SSS、SAS、AAS等基本原则。而角平分线作为一种特殊的线段，能为我们提供一对相等的角和一条公共边。只要再找到一条边或一个角，就可以轻松地证明两个三角形全等。当遇到角平分线时，我们更容易找到证明全等三角形的线索。

方法一：寻找到一对相等的边，如OC=OD，然后根据SAS定理，可以轻松证明△COG与△DOG是全等的。

方法二：在寻找全等三角形的证明过程中，我们常常会注意到直角这一特殊的角。例如，在OP上选取一点G，然后作过G的垂线与OB相交于点C，与OA相交于点D。这样一来，我们便得到了∠OGC与∠OGD的相等性，接着根据ASA定理，我们可以证明△COG与△DOG是全等的。

方法三：角平分线的一个重要性质是，角平分线上的点到该角的两边的距离是相等的。利用这一点，我们可以过点G作OB的垂线交于点C，再作OA的垂线交于点D。由于CG=DG，我们可以利用HL定理（斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）或AAS定理来证明△COG与△DOG的全等。

在图示中，△ABC的角平分线AD与BE相交于点I。我们需要证明的是：点I位于∠ACB的平分线上。

解题思路阐释：

本题实际上是在验证三角形的角平分线总是会交于一点。通过作IH⊥AB，IG⊥AC和IF⊥BC，并利用AD作为∠BAC的平分线来获得两相等角，我们可以通过AAS定理来证明△AHI与△AGI的全等性。由此得出IH=IG的结论。同样地，我们也可以证明IH=IF，因此可以得出IF与IG等量代换的结论。

接下来，连接IC并注意到△IFC和△IGC都是直角三角形。根据HL定理，我们可以证明△IFC与△IGC的全等性，从而得出∠ICA等于∠ICB的结论，即点I位于∠ACB的平分线上。

对于PA和PC分别作为△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线并交于点P的情况，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F。

我们的目标是证明：BP为∠MBN的平分线。

证路解读：

在存在角平分线和垂直线的情况下，很自然地我们会想到作垂线。过点P作AC的垂线，垂足为E。可以容易地证明△PMA与△PEA的全等性，从而得出PM等于PE的结论。类似地，也可以证明△PEC与另一个三角形的全等性，得出PF等于PE的结论。因此PM等于PF，这说明P位于BP上。

记住角平分线的基本性质：一个点如果到两条射线的距离相等，那么这个点就位于这两条射线的夹角的平分线上。

内容

关于角平分线的练习题相对较少，因为在通过角平分线证明三角形全等时，常常会用到“截长补短法”。如需更多练习，建议查阅相关文章。