向量a在向量b上的投影-数量投影和投影的区别

一、向量概述

定义：向量，是一种具有大小和方向的量，可用有序数组进行表示。在3D图形学中，三维向量常被用来表达空间中的点、方向及位移等。

二、向量的基本运算

1. 向量加法：两个向量相加，即将它们的对应分量进行相加。例如，向量A(a1, a2, a3)与向量B(b1, b2, b3)相加，结果为C(a1+b1, a2+b2, a3+b3)。

2. 向量减法：操作方式与加法类似，将两个向量的对应分量进行相减。如向量A与B的差为C(a1-b1, a2-b2, a3-b3)。

3. 向量数乘：一个向量与一个标量相乘，即将该向量的每个分量都乘以这个标量。例如，向量A与标量k的乘积为B(ka1, ka2, ka3)。

三、向量的点积详解

点积：也称为内积，是两个向量对应分量乘积之和。对于向量A(a1, a2, a3)和B(b1, b2, b3)，它们的点积A·B等于a1b1 + a2b2 + a3b3。点积的几何意义反映了一个向量在另一个向量上的投影长度与另一个向量长度的乘积。

四、向量的叉积探讨

叉积：也称为外积，是两个三维向量的一种运算，结果是一个新的向量。对于向量A(a1, a2, a3)和B(b1, b2, b2)，它们的叉积C的计算方式为(a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。叉积的几何意义是得到一个垂直于原两个向量的新向量，其大小等于以这两个向量为邻边的平行四边形的面积。

五、向量的归一化处理

归一化：是将向量的长度变为1，同时保持其方向不变的过程。对于非零向量A(a1, a2, a3)，其归一化后的向量B的分量计算方式为(a1/|A|, a2/|A|, a3/|A|)，其中|A|表示向量A的长度，计算方式为各分量平方和的平方根。

六、矩阵的基本概念及运算

定义：矩阵是由数字排列成的矩形阵列。在3D图形学中，4x4的矩阵常被用来表示空间的变换，如平移、旋转和缩放等。

基本运算：包括矩阵的加法、减法及数乘。矩阵的加法与减法是将对应元素进行相加或相减；矩阵的数乘则是将每个元素都乘以一个标量。

七、矩阵乘法及特殊矩阵

矩阵乘法：是一种重要的运算，通过两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。其计算方式为两矩阵对应行与列的元素相乘再求和。单位矩阵、转置矩阵及逆矩阵等特殊矩阵也在3D图形学中扮演重要角色。

八、空间变换技术

空间变换：包括平移、旋转和缩放等操作。这些变换可以通过相应的矩阵来实现，如平移矩阵、旋转矩阵和缩放矩阵。通过将这些变换矩阵与物体的坐标相乘，可以得到变换后的坐标。

九、光照计算中的向量与矩阵运用

光照计算：在3D图形学中，涉及到向量和矩阵的运算。例如，通过计算光照方向与物体表面法线的点积，可以得到光照在物体表面的强度。使用矩阵可以方便地表示光照的颜色和强度等属性，从而进行光照计算和渲染。

十、相机变换及其应用