什么叫做常微分方程-微分方程的应用
关于应用数学的精确定义虽然繁复，但我尽力用简明的话语来解释。应用数学，大体上可视为运用方程等数学工具服务于其他自然科学的学科。对于杰出的应用数学家而言，其作品常以他们的名字命名的方程来标记。现在让我详细阐述这门学科的方方面面。
1、历史背景
在古代，数学大家们的探索领域广泛，不仅建立了数学理论，还对其他自然学科做出了贡献。在那个阶段，数学与应用数学之间的界限并不明显。像牛顿、欧拉、伯努力这样的科学家，他们的成就跨越了多个领域。但随着数学研究的深入，科学家们开始细分学科，二十世纪后再无数学全才如庞加莱。一些学者开始专门利用方程进行研究其他自然学科，比如流体力学。渐近理论(asymptotics)的使用引发了争议，最初被纯数学家质疑其严谨性。当林家翘等学者利用该方法成功发展了平行流动稳定性理论后，数学界逐渐认可了应用数学的价值。
2、发展脉络
随着时代的发展，应用数学的范围不断扩大。特别是七十年代后，计算数学的发展加强了微分方程在应用数学中的应用。应用数学家们在研究渐近分析或边界层理论的也致力于寻找微分方程的数值解，从而推动了数值分析的进步。
3、影响与应用
从方程的应用角度看，应用数学主要有两大方向：一是偏微分方程的运用，主要代表是流体力学；二是常微分方程或动力系统的运用，主要涉及生物数学和经济学。这两大方向分别研究不同领域的数学模型和问题。
应用数学的发展对军事技术有着直接的影响。例如，空气动力学在军机设计中起着关键作用，而水动力学则与军舰的设计紧密相关。过去的军事竞赛，如美苏冷战时期的军事竞赛，也隐藏着应用数学的较量。
4、分析学的角度
由于应用数学与微分方程紧密相连，PDE分析有时被视为应用数学的一部分，被称为应用分析学。这一方向主要研究方程在特定边界条件下的特性，如解的存在性、唯一性和稳定性等。
5、金融数学与机器学习的位置
金融数学虽然涉及随机微分方程和随机过程，但由于其方程相对简单，边界条件变化较少，因此尚未被纳入应用数学的范畴。至于当下热门的机器学习，尽管也需要建模，但其核心是基于数据发展的学科，因此并不属于应用数学的范畴。
5、教育体系的反映
在英美的教育体系中，数学本科的高年级会有纯数学和应用数学的区分。而在我国，虽然早期效仿前苏联设立了力学系等相关方向，但随后的教育中逐渐引入了应用数学的概念。目前我国大学本科的数学与应用数学专业仍以纯数学基础和应用数学基础为主，真正涉及应用数学的课程尚待深入。
