二次方程的求根公式-二次方程的解法公式

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如何求解一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)呢？

这不仅是中学数学课堂上熟知的问题，更是在数学领域历史长河中备受关注的一个课题。从古巴比伦时期开始，人们就不断探索着求解二次方程的方法，包括因式分解、配方，以及后来的求根公式。

在某种程度上，这些方法在本质上都是相通的，因为求根公式其实是通过配方的方法推导而来的。

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近期，卡耐基梅隆大学的数学家Po-Shen Loh（罗博深）在arXiv上发表的一篇论文中，提出了一种新颖且简单的求解二次方程的方法。

罗博深指出，传统的配方法和求根公式虽然有效，但有时显得较为繁琐，特别是对于初学者来说，求根公式的记忆和运用都存在一定难度。他认为配方的过程较为复杂，不易于理解。

在他的新方法中，罗博深巧妙地避开了传统的配方过程，提出了一种更为直观的求解方法。这种方法可以用更少的步骤找到二次方程的根。

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那么，这种更适合代数初学者的求解过程是怎样的呢？

让我们以一元二次方程为例，探讨其求解过程。我们将多项式 x² + Bx + C 重写为 (x - R)(x - S) 的形式。

在这里，R 和 S 就是使 x² + Bx + C = 0 的两个根。

展开 (x - R)(x - S)，再合并同类项，我们可以得到两个根的和与积的关系式。

根据这两个关系式，我们可以推导出 R 和 S 的平均数等于 -B/2。所要求的根可以表示为 -B/2±z 的形式。

其中，z 是一个未知数。

已知 R 和 S 的乘积等于 C，即 (-B/2+z)(-B/2-z) = C。展开后得到 (-B/2)² - z² = C。由此，我们可以轻松求出 z 的值。

进一步推导，最终得到 R 和 S 的表达式。

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在得到等式后，我们需要对等式两边同时乘以2，使 x² 的系数变为1。这样操作后得到的新等式将有助于我们更好地应用之前推导出的根的关系。

根据前面的推导，我们知道这个方程的两个根之和为2，两根之积为4。将这两个信息结合起来，我们可以得到 1 - z² = 4。从而解出 z 的值为 ±i√3。

方程的两个根分别为...

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罗博深的方法有何优点呢？他认为，根据当前的代数课程设置，学生在学习多项式相乘之前，已经熟悉了如 (a+b)² = a² + 2ab + b² 以及 (a+b)(a-b) = a² - b² 这样的公式。将两根之和的平均数作为参数，再在其基础上加减一个未知量，这种方法对于初学者来说更具直观性。

与传统通过配方推导求根公式的方法相比，罗博深的新方法动机更加直接。它强化了每个二次方程都有两个根的概念，简化了推导过程。这种方法无需死记硬背求根公式，只需掌握一些关于根的简单规则，就能找到方程的解。这将有助于学生更好地理解二次方程的工作原理，也许还能提升他们对数学的兴趣。

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