方差和标准差的区别-统计学中标准差和方差的区别

标准差的直观解释

统计学中的关键概念之一便是标准差，其与其他统计量（如方差和均值）之间存在着密切的关系。为了更直观地解释这一概念，本文将通过具体的例子进行说明。

设想我们有一份成绩单，这即是现实测量数据的体现。面对大量的数据，我们希望将其简化，以便于对比不同班级或不同年份的成绩。由于我们的认知能力有限，无法逐一查看每个分数来找出平均分更高的班级。这时，描述统计学就派上了用场。

在描述统计中，我们通常通过两种方式来总结数字：量化其相似性或差异。量化数字的相似性即为“集中趋势量数”，包括平均数、中位数和众数；而量化数字的差异则是“差异量数”，标准差便是其中之一。

标准差能够揭示一组数字中个体之间的差异，以及数字与平均值之间的差异。为了更好地理解这一概念，我们以一组学生分数为例进行说明。

我们在简单的散点图中绘制这些数字，并找出这些数字的中心，即平均值，用一条线表示。接下来，我们要计算每个点和平均值之间的距离，并对得到的数值求平方。这样做的目的是计算数字之间的差异，以及数字与平均值之间的差异。我们可以通过数学或图表的方式来完成这一操作。

上图中，我们可以看到对差异进行求平方的操作实际上就是在画一个方框。需要注意的是，我们不能简单地将所有差异相加。因为一些差异是正值，一些是负值，相加后会相互抵消得到0。我们对差异取平方。

然后，我们计算这些平方差异的总和，即平方和。这一总和高效地反映了分数的总变异程度。理解变异与差异之间的关系是理解多个统计估计和推断检验的关键。

现在我们已经得到了总变异，但更关心的是平均变异。要计算平均变异，我们将总平方和除以方框的数量。在实用场合中，有时会除以N-1而不是N，以便基于一个样本而非总体来估计平均变异。但在此假设我们已经拥有总体数据。

重点在于，我们想要计算所有小方框的均方值，这就是方差的定义，即平均变异或差异平方的平均值。

为什么我们不直接使用方差来表示分数的差异呢？问题在于，我们不能直接比较方差和原始分数，因为方差是“平方”值，表示的是面积而非长度。其单位是points^2，与原始分数的单位points不同。那么如何将这种“平方”的关系去掉呢？答案就是方根。

最终，我们得到了标准差，即变异的平方根。以本例中的成绩单为例，我们得到的最终标准差值为2.91points。

这就是标准差的核心概念。通过对标准差进行基础直观的解释，有助于大家理解为什么在处理z分数、正态分布、标准误差和方差分析时需要使用标准差的单位。标准差在数学、统计学以及机器学习等领域中都有着广泛的应用。

关于为何选择差异平方而非绝对值的问题，虽然使用差异的平均绝对值是可行的，但差异平方为距离平均值较远的数字提供了更多权重。这在数学理论和实际应用中常被采用。通过具体的例子比较，我们可以更清楚地看到差异平方在衡量数据分散程度时的优越性。