标准正交基 补空间的标准正交基怎么求
在深入探讨SVD矩阵分解之前，需先回顾一些基础概念，如正交矩阵、正交变换以及基向量。
若矩阵A为n阶实数矩阵且为正交矩阵，则需满足以下条件：
- A为正交矩阵；
- A的各行（列）为单位向量且两两正交；
- A的行列式值为1或-1；
- 正交矩阵通常用字母Q表示。
常见等式解析
原始矩阵存储了数据的原始信息。当数据量巨大且稀疏时，即矩阵中大部分元素为0，仅少量元素不为0，此时便需提取矩阵特征进行分解以简化矩阵复杂度。
正交矩阵定理详述
在矩阵论中，实数正交矩阵Q是方块矩阵，其转置等于其逆矩阵。若正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。
- 方阵A正交的必要条件是其行（列）向量组为单位正交向量组；
- 方阵A的行（列）向量组成n维向量空间的标准正交基；
- A为正交矩阵的充要条件是其行向量两两正交且均为单位向量；
- A的列向量组同样构成正交单位向量组。
- 正交方阵是欧氏空间中标准正交基之间的过渡矩阵。
正交变换公式表达为：X=UY。
其中，X是Y的正交变换结果，U为正交矩阵，X和Y均为列向量。
设两个单位列向量a和b，这两向量的夹角为θ。
接下来，我们对向量a和b进行正交变换。
经过上述变换，可得出正交变换后的向量组内积相等，即θ=θ'。
从几何角度理解等式（1），（2），其含义如图所示：
正交变换的几何特性
1. 正交变换不改变向量的长度（模）；
2. 正交变换不改变向量的夹角。
由上述特性可知，基向量经过正交变换后仍为基向量。基向量是表示向量最简洁的方式，向量在基向量上的投影即为该向量的坐标。
对于对称方阵A，其特征值分解可表示为：其中U为正交矩阵，Σ为对角阵。
为了更好地理解特征分解的几何含义，假设A为一个2×2的对称矩阵。
展开AU=UΣ后，其几何意义如下：
对称矩阵A并未旋转其特征向量，而是对其进行了拉伸或缩短（取决于特征值的大小）。对称矩阵对其特征向量（基向量）的变换结果仍为基向量（单位化）。
虽然当基向量为对称矩阵的特征向量时，矩阵变换后仍为基向量，但实际中我们常遇到的是行列不等的矩阵。
比如，在一个系统中，假设有100万用户和10万件商品，那么用户购买商品的记录就可以表示为一个100万×10万的矩阵。
再如，若用户信息有10个标签，则可将用户购买商品的表格分解为A、B两个矩阵。通过A与B的相乘即可还原原始矩阵。
对于上述场景，我们可以考虑对矩阵进行SVD分解以进行矩阵优化、降维等处理。
SVD矩阵分解详解
