就怕认真二字 认真你就输了

老黄在先前的作品中曾向大家介绍了区间套定理，那是《老黄探索高等数学》系列的第213篇内容。老黄还玩味地提到，在区间套中藏匿着一种“幻影”。所谓的幻影，就是你若忽视它的存在，它便无处可寻，但如果你用心寻找，它又确实存在。

接下来，老黄要继续探讨区间套定理的一个推论。让我们再次品味，是否真的存在这样一只“幻影”。当你越深入地思考，这只幻影便越发灵动地出现在你的眼前。如果你只是停留在定理的表面，那么你将无法察觉到这只幻影。对于人类而言，面对这种“幻影”，我们往往无法取得胜利。老黄说，数学最怕的就是一个“认真”的态度。因为一旦认真起来，你就注定会面临失败，但即使知道注定会失败，我们也必须坚持追寻真相。

区间套定理的推论如下：若ξ属于[an,bn]（n=1,2,...）是区间套{[an,bn]}所确定的点，那么对于任意的ε>0，必定存在正整数N，当n大于N时，[an,bn]将包含在ξ的某个邻域内。

用老黄的话来解释，区间套定理确认了区间套中存在一个点（幻影），而这个点的推论则指出，在这个点的任意邻域内，都存在区间套的无数个闭区间。下面老黄将为大家展示一个证明过程：

证明：根据题目条件，lim( n→∞) bn和lim(n→∞) an都等于ξ。【这是由区间套定义的第二个条件决定的，即区间套的两个“端点数列”收敛于同一点，这个点我们记为ξ】

对于任意的ε>0，都存在N1和N2，使得当n大于N1时，|an-ξ|

取N为N1和N2中的较大值，那么当n大于N时，就有an>ξ-ε且bn

即[an,bn]被包含在ξ的某个邻域内。

这个推论值得进一步探讨的是：它声称ξ是确定的，但从证明过程中我们可以看出，其实ξ是两个“端点数列”的共同极限，而极限并不是一个确定不变的概念。如果它真的是“确定”的，那么是否意味着可以确定与之相邻的an和bn的值？如果我们取ε0=min{|an-ξ|,|bn-ξ|}，那么在ξ的某个邻域内是否还存在[an,bn]呢？

老黄想要表达的是，这个ξ并不是一个固定不变的值。之所以在其任何邻域内都存在区间套的无数个闭区间，老黄认为是因为ξ本身就可以代表无数个闭区间。或许老黄自己也在这只“幻影”的迷惑中。

老黄设计了几个区间套的练习题，帮助大家寻找它们所确定的数ξ。

练习：求下列区间套所确定的数。

(1) {[(n^2+1)/(n^2+2), 1]}；

(2) {[0, 1/n]}；

(3) {[-1/n, 1/n^2]}；

(4) {[(-n-1)/(n-2),ln(n/(n+1))^n]}。

解：设区间套所确定的数为ξ，则

(1) ξ=1。

(2) ξ=0。

(3) ξ等于-1/n当n趋于无穷时的极限值0，或者等于1/n^2当n趋于无穷时的极限值0。

(4) ξ等于(-n-1)/(n-2)当n趋于无穷时的极限值-1。

由此可见，如果区间套的一个“端点数列”是常数列，那么它所确定的数就是这个常数。否则，它所确定的数就是两个“端点数列”共同的极限，只需求其中一个数列的极限即可。大家理解了吗？