转置矩阵与原矩阵相乘-矩阵A×A的转置等于什么

奇异值分解是一种从矩阵中提取关键信息的重要技术，通常应用于线性代数和矩阵论中，它在统计学和信号处理中有着举足轻重的地位。

在理解奇异值之前，我们先来熟悉一下特征值的概念。

特征值和特征向量在数学中占据着举足轻重的地位。在线性代数中，相似矩阵指的是存在某种特定关系的矩阵。当两个n阶矩阵A和B之间存在一个n阶可逆矩阵P，使得P的逆矩阵乘以P乘以A等于B时，我们称矩阵A与B相似。

对角矩阵是一个主对角线外的所有元素都为零的特殊矩阵，可以写为diag(a1, a2, …, an)的形式。值得一提的是，对角线上的元素可以是任意值，包括零。特别地，对角线上元素相等的对角矩阵被称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵被称为单位矩阵。对角矩阵的运算遵循特殊的规则，如和、差运算、数乘运算以及同阶对角阵的乘积运算结果仍为对角阵。

可对角化矩阵是线性代数和矩阵理论中一类重要的矩阵。如果有一个方块矩阵A可以通过一个可逆矩阵P转化为对角矩阵，那么我们说A是可对角化的。

设A为一个n阶矩阵，如果存在常数λ和一个n维非零向量x，使得Ax=λx，则称λ为A的特征值，x为对应于特征值λ的特征向量。

特征分解（又称谱分解）是将一个可对角化矩阵分解为其特征值和特征向量的方法。在这个过程中，特征空间是具有相同特征值的特征向量的集合。

具体到特征分解的数学表达形式，对于N×N的方阵A，如果有N个线性无关的特征向量qi（i=1, …, N），则A可以表示为：A=QΛQ⁻¹

其中Q是N×N的方阵，其第i列是A的特征向量。而Λ是一个对角矩阵，其对角线上的元素即为对应的特征值。

需要注意的是，只有可对角化矩阵才能进行特征分解。而有些矩阵无法被对角化，也就无法进行特征分解。

在特征分解的过程中，A被视为三个映射的组合。如果我们有一个向量x，那么可以通过一系列的变换来对其进行操作。

Q作为正交矩阵，其逆矩阵等于其转置。通过Q的变换，我们可以将x表示在一个新的坐标系下，这个坐标系由A的所有正交的特征向量构成。

接下来，在这个新的坐标系下，Λ作为对角矩阵，对新的向量坐标进行变换。这个变换实际上是将向量在各个轴方向上进行拉伸或压缩。

如果A不是满秩的，那么这会导致维度退化，使映射后的向量落入m维空间的子空间中。最后一步是Q⁻¹的变换，由于Q与其转置互为逆矩阵，因此这个变换是前面变换的逆过程。

具体到向量与矩阵相乘的过程，可以看作是将这个向量进行了几何变换。同时我们了解到这些特征值实际上表示了在对向量进行线性变换时各个方向的变换幅度。

如果考虑一个非方阵的情况，那么就需要用到奇异值分解了。在m×n阶的矩阵A中，其奇异值可以通过计算AA的q个非负特征值的算术平方根得到。

奇异值与特征值类似，也是从大到小排列的。而且奇异值的减少速度非常快。在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占据了全部奇异值之和的99%以上。这意味着我们可以用前r个大的奇异值来近似描述原矩阵。

通过奇异值分解技术，我们可以使用更少量的数据来近似替代原矩阵。这种技术对于数据压缩和降维具有重要作用。