莱布尼茨公式-高阶莱布尼茨公式

出品单位：科普

制作团队：由中科院数学与系统科学研究院的黄逸文领衔制作

监制单位：科学院计算机网络信息中心

（一）圆周率的秘密

自古以来，人们对于如何计算圆的周长始终充满好奇。圆周率π，作为圆的周长与其直径之比，虽然看似简单，却让无数先贤为之困扰。尽管圆在生活中的应用举足轻重，但其精确值的计算却一直是个难题。

早在古希腊时期，毕达哥拉斯学派认为世界上的数都是有理数。无理数的发现，特别是与圆周率π相关的计算，成为了数学史上的一个谜团。这个谜团困扰了人们长达千余年。

南北朝时期的祖冲之，利用古老的算筹方法，计算出了圆周率的近似值范围。他的这一成就对于当时的生产实践有着重要的意义，同时也为后来的数学研究提供了宝贵的启示。尽管祖冲之的方法需要极大的耐心和细心，但直到一千多年后，人们仍然无法打破他的记录。圆周率π，就如同一个守护着秘密的宝藏。

莱布尼茨公式是一个将圆周率精确表达为数学级数公式的公式。这一公式在1673年被德国数学家莱布尼茨发现，后来被后世称为莱布尼茨公式。其实，与莱布尼茨同时期的其他数学家如格列固里和索马亚吉也独立发现了类似的级数公式。这一发现让圆周率π的真实面目得以首次清晰地展现。

（二）欧拉的杰作

欧拉公式是由瑞士数学家欧拉所发现的。这个公式由五个数学上最简单的符号组成，通过加法、乘法和幂运算将1、0、π、i和e这五个数学中最重要的数字联系在一起。这无疑是数学领域的一篇天才之作。

欧拉公式展现了数学的理性与深邃之美。它不仅展示了数学的简单与和谐，也让人们得以一窥数学在宇宙时空中的通用性和无与伦比的完美特性。

（三）傅里叶级数的启示

对于在[-π，π]区间内周期的可微分函数f（x），其存在如下的无穷级数表达式。

在1807年，法国数学家傅里叶发现任何可微分的函数都可以用正弦函数与余弦函数的加和来表示。这种表示方式无论原始函数的图形多么复杂，都可以达到任意所需的精度。

傅里叶的这一发现为数学分析领域带来了全新的启示。从数学的角度来看，傅里叶的定理告诉我们，任何复杂的曲线都可以用无数简单的曲线来替代。或者说，所有曲线都可以通过堆叠波纹的方式呈现。这为人们认识事物提供了极为强大的工具。

如今，傅里叶级数的应用已经渗透到世界的各个领域。从震荡分析到影像处理，从音乐创作到通讯技术，到处都有傅里叶级数的身影。甚至通过分析遥远星系发出的光，人们可以了解其化学成分。这些都是傅里叶级数带给世界文明的宝贵馈赠。

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