莱布尼兹公式-高阶导数的莱布尼茨公式

在所提供的数学表达式中，我们注意到φn(x)后确实遗漏了等号，这可能是书写时的疏忽。请留意φn(x)与f(x)之间的导数关系，它是理解整个数学推导的关键。

图示一

这一步骤的推导是基于φn(x)作为积分等度绝对连续函数的属性，由此自然得出了上述结果。

关于图示一中另一个等式的理解，可以参图进行类比。在图中，三个曲边矩形的宽度均标明为1/n，而[f(x+1/n)-f(x)]dx代表的是黑色原点位置的三角形面积，这个面积属于高阶无穷小的一部分。

在图示一的最后一个等式中，两个积分之间的差异表示了bi和ai各自对应的曲边梯形面积的差异，同样也是一个高阶无穷小。我们可以认为这两者是相等的。

这些推导都是基于函数f(x)的连续性以及1/n和[bi-ai]均为无穷小的前提下得出的。

图示中首个等号的推导原理与之前所述相同。

此处的原因在于A与Gk的交集所导致的结果。

上图通过Valiti覆盖定理将集合[a，b]划分为有限个[x，x+1/n]的覆盖区域。

随后的等式则是通过积分中值定理推导得出的。

根据定理九的描述，绝对连续函数确实可以表示为其导函数的Lebesgue积分。问题尚未完全解决，因为我们还不知道绝对连续性是否是牛顿一莱布尼兹公式成立的必要条件。接下来我们将对这一问题进行深入探讨。

该定理的含义是，若函数f(x)在任意区间的积分为零，则该函数几乎处处为零。其中，“a.e.”表示“几乎处处”。

与之前的证明相比较，我们得到结论：函数若等于其导数的Lebesgue积分，那么该函数必定是绝对连续的。

此结论的推导过程清晰明了，易于理解。