转置矩阵与原矩阵相乘 矩阵A与A的转置相乘

在数学表达中，我们使用'A'来代表矩阵A的转置，而'R'则表示矩阵的秩。接下来，我们将对一个数学命题进行推导。

命题内容：R(AA')等于R(A'A)也等于R(A)等于R(A')。

方法与工具：我们将借助线性方程组的相关知识来进行推导。

注意：显然R(A)与R(A')是相等的。我们只需证明R(A'A)与R(A)相等，以及R(AA')与R(A')相等即可。

第一部分 - R(A'A)与R(A)的证明过程

要证明R(A'A)等于R(A)，我们需证明相关的齐次线性方程组拥有相同的解。具体来说，我们要证明如果x是A'Ax=0的解，那么它也必须是Ax=0的解（其中x和0都被视为列矩阵或列向量）。

证明过程如下：

假设y是Ax=0的解，那么通过矩阵运算我们可以得知Ay必定为0，进而得出A'Ay也为0。

反过来，如果y是A'Ax=0的解，那么A'Ay必然为0。由此我们可以推导出(Ay)'Ay等于0，即Ay为0。

我们证明了A'Ax=0与Ax=0拥有相同的解，从而得出R(A'A)等于R(A)。

第二部分 - R(AA')与R(A')的证明过程

与第一部分类似，要证明R(AA')等于R(A')，我们同样需要证明相关的齐次线性方程组拥有相同的解。

具体过程如下：

假设y是A'x=0的解，那么根据矩阵运算我们知道A'y必定为0，从而得出AA'y也为0。

反过来，如果y是AA'x=0的解，那么AA'y必然为0。此时我们可以推导出y'AA'y等于y'0（即0乘以任何数都为0），进一步推导得出(A'y)'A'y为0，即A'y为0。

我们证明了AA'x=0与A'x=0拥有相同的解，从而得出R(AA')等于R(A')。